E könyv célja, hogy bevezesse az Olvasót az integráltranszformációnak a matematikai feladatokban fellépő gyakoribb alkalmazásaiba, s egyben kézikönyvként is használható legyen. A könyv megírásához közvetlenül azok az egyetemi jegyzetek szolgáltak alapul, amelyeket felsőbb éves hallgatók számára az előadásokhoz készítettem az Ausztrál nemzeti Egyetemen, ugyanakkor az anyag összeállítását illetően igen sokat köszönhetek Barry Ninham kollégámnak, akiről később még szót ejtek. A jegyzeteket jelentősen kibővítettem azzal a szándékkal, hogy a könyv több segítséget nyújtson elsősorban olyan felsőbb éves hallgatók számára, akiknek fizikai, kémiai, mérnöki és egyéb rokon tudományokban kell matematikai feladatokat megoldaniok.
Minden könyv szükésgszerűen tükrözi a szerző látásmódját, és számos kompromisszum eredménye. Az elsődleges szempontom az volt, hogy inkább szelektív, mint enciklopedikus könyvet írjak. Ezért a tárgykörnek sok részterülete kimaradt - nem egy esetben olyankor is, amikor már előzetesen elkészült -, mivel úgy véltem, hogy ezek túlságosan megnövelnék a könyv terjedelmét. az elhagyott anyag egy részét különféle feladatokban körvonalaztam. Ez lehetővé teszi az egyes feladatok esetében a különböző megoldási módszerek bemutatását. Nagy súlyt helyeztem a komplex függvénytani eljárások alkalmazására - ez a matematikának kevésbé divatos, de gyakran mégis átütő erejű ága. Különösen szigorú voltam a formális bizonyítások elhagyása tekintetében, bár így is jelentős mennyiségű "tiszta matematika" maradt, ami az általánosított függvények - a matematika e másik igen hasznos ága - megértésével és alkalmazásával kapcsolatos. Így az integráltranszformációk elméletének szigorú felépítését illetően az olvasót a tárgykörben megjelent sok kitűnő könyv egyikére-másikára kell utalnom. Én olyan tárgyalásmódot választottam, amely közelebb áll az alkalmazott jellegű tudományos cikkek jellegéhez. Csak azt remélem, hogy az út, amelyen haladtam, nagyon érdekes lesz, és segíteni fogja a hallgatókat és a kutatókat az integráltranszformációk alkalmazásában. Vissza
TARTALOM
Előszó 9
A Laplace-transzformáció 11
A definíció és néhány elemi tulajdonság 11
A Laplace-transzformáció 11
Fontos tulajdonságok 12
Aszimiptotikus tulajdonságok. Watson lemmája 15
Feladatok 18
Az inverz Laplace-transzformáció 20
A Riemann-Lebesque-lemma 20
A Dirichlet-integrálok 22
Az inverziós integrál 23
Racionális függvények inverziója 24
A Taylor-sorfejtés 26
Feladatok 27
Közönséges differenciálegyenletek 28
Első- és másodrendű differenciálegyenletek 28
Magasabb rendű differenciálegyenletek 30
Differenciálegyenlet-rendszerek 32
Polinom-együtthatós egyenletek 38
Feladatok 39
Parciális differenciálegyenletek 40
A diffúziós egyenlet 40
A hullámterjedés 42
Feladatok 45
Integrálegyenletek 47
Volterra-féle konvolúciós egyenletek 47
Végtelen tartományon vett konvolúciós egyenletek 51
A PercusYevick-egyenlet merev rudakra 54
Feladatok 56
Az inverziós integrál 59
Meromorf függvények inverziója 59
Inverziók, elágazási pont esetén 62
Watson lemmája körintegrálokra 64
A nagy t értékekre vonatkozó aszimptotikus alak 65
A Heaviside-kifejtés 67
Feladatok 67
A Fourier-transzformáció 69
Definíciók és elemi tulajdonságok 69
Az exponenciális, a sinus- és a cosinus-transzformáció 69
Alapvető tulajdonságok 73
Spektrálanalízis 75
A Kramers-Krönig-összefüggések 78
Feladatok 80
Alkalmazás parciális differenciálegyenletre 84
Potenciálszámítás 84
Vízhullámokra vonatkozó alapvető egyenletek 84
A kezdeti felületelmozdulásssal keltett vízhullám 89
Periodikus zavar által keltett hullámok. A terjedés feltétele 92
Feladatok 95
Általánosított függvények 97
A delta-függvény 97
Alapfüggvények és általánosított függvények 98
Elemi tulajdonságok 101
Analitikus funkcionálok 105
Az általánosított függvények Fourier-transzformáltja 107
Feladatok 109
Green-függvények 113
Egydimenziós Green-függvények 113
Green-függvények mint általános függvények 116
A kétdimenziós Poisson-egyenlet 118
A kétdimeziós Helmholtz-egyenlet 122
Feladatok 125
Fourier-transzformáció két vagy több változó esetén 128
Jelölések és alapvető összefüggések 128
Skaláris hullámok diffrakciója 132
Retardált elektromágneses terek 133
Feladatok 135
További fontos transzformációk 141
Mellin-transzformációk 141
Definíciók 141
Egyszerű példák 142
Elemi tulajdonságok 146
Ék alakú tartományra vonatkozó potenciálfeladat 147
Polárkoordinátákat alkalmazó transzformációk 148
Hermite-függvények 150
Feladatok 152
Sorösszegekre vonatkozó Mellin-transzformáció 156
Mellin-féle összegzési formula 156
Ramanujan feladata 158
Hatványsorok aszimptotikus viselkedése 160
Feladatok 162
Paraméteres integrálok 164
Előzetes példa 164
Egy általános feladatkör 16+4
Növekvő sorok Fourier-integrálok esetén 166
Többdimenziós integrálok 167
Feladatok 171
Hankel-transzformációk 173
A Hankel-féle transzformációpar 173
Elemi tulajdonságok 176
Néhány példa 177
Peremérték-feladatok 178
A Weber-integrál 179
Feladatok 181
Duális integrálegyenletek 185
Az elektromosan töltött lemez 185
Titchmarsh-típusú duális itnegrálegyenletek 186
Erdelyi-Kober-féle operátorok 188
Feladatok 191
Green-függvénnyel generált integráltranszformációk 195
Az alapképlet 195
Véges intervallumok 197
Néhány szinguláris feladat 199
Kantorovics-Lebegyev-féle transzformáció 201
Ék alakú tartományra vonatkoz peremérték-feladatok 203
Hullámimpulzus szóródása a kétdimenziós félsíkon 204
Feladatok 207
Speciális eljárások 210
A Wiener-Hopf-módszer 210
A Sommerfeld-féle diffrakció-feladat 210
A Wiener-Hopf-módszer: Féltérre vonatkozó feladatok 217
Integrál és integro-differenciálegyenletek 218
Feladatok 222
Cauchy-integrálokon alapuló módszerek 225
Wiener-Hopf-felbontás vonalintegrál segítségével 225
A Cauchy-integrálok 227
A szakadási tétel 231
A Riemann-Hilbert-feladat 231
Egyszerű alkalmazások 232
Feladatok a lineráris traszportelméletből 233
Az Albedo-probléma 237
Egy diffrakciós feladat 239
Feladatok 244
Laplace módszere közönséges differenciálegynletekre 245
Megoldás integráltranszformációval 245
Az Hermite-polinomok 246
Az Hermite-függvények 248
Bessel-függvények integrál-előállításai 251
Az elsőfajú Bessel-függvények 253
Másod- és harmadfajú függvények 255
A Poisson-féle integrál-előállítás és hasonló előállítások 259
A módosított Bessel-függvények 261
Feladatok 262
A Laplace-transzformáltak numerikus inverziója 268
Gauss-kvadratúra alkalmazása az inverz Laplace-integrál kiszámítására 268
Laguerre-polinomok alkalmazása 272
F(p) közelítés Csebisev-polinomokkal, való p esetén 274
Előállítás Fourier-sorral 276
A Padé-approximáció 277
F(p) racionális közelítése 279
Függelék 282
A faktoriális függvény 282
A Reimenn-féle dzéta-függvény 284
Az exponenciális integrál 286