Az alkalmazott matematika elemei

Összefoglaló

Megjegyzés: Fekete-fehér ábrákkal illusztrálva.
ELŐSZÓ
Ez a könyv nem rendszeres tankönyv, inkább olyan útikönyvféle a felsőbb matematikai alkalmazásába. Egyszerű fizikai példák és különböző matematikai feladatok segítségével szeretnénk megismertetni Olvasóinkat azokkal a gondolatokkal és módszerekkel, amelyek lépten nyomon előbukkannak a matematikai fizikai, technikai és más irányú felhasználása során. Nem matematikus Olvasóink aligha hallottak e gondolatok és módszerek egyikéről-másikáról, amilyenek például a delta-függvény, a szuperpozíció elve vagy az aszimptotikus kifejezések. A matematikai tankönyvek nemigen szokták tárgyalni ezeket a kérdéseket - könyvünk többek között éppen ezt a hiányosságot akarja pótolni. De nemcsak ez a célunk. Szeretnénk megvilágítani a matematikai módszerek lényegét, a jelenségek közös törvényszerűségeit. Ahol csak lehet, elhagytuk a formális bizonyításokat, a minimálisra korlátozva a kivételeket és a bonyodalmat okozó tényezőket. Cserébe viszont néhány helyen mélyebben behatolunk a vizsgált folyamatok fizikai lényegébe. Vissza
TARTALOM
A szerzők előszava 9
Numerikus módszerek 12
Numerikus integrálás 12
Sorösszegek kiszámítása integrálokkal 19
Egyenletek numerikus megoldása 27
Megoldások 35
Kísérleti eredmények matematikai feldolgozása 38
Táblázatok és differenciák 38
Táblázattal megadott függvények integrálása és differenciálása 43
A tapasztalati adatokhoz illeszkedő képlet meghatározása a legkisebb négyzetek módszerével 48
A képletmegválasztás grafikus módszere 54
Megoldások 61
Kiegészítő ismeretek az integrálokról és a sorokról 64
Improprius integrál 64
Gyorsan változó függvények integrálása 72
A Stirling-formula 82
Gyorsan oszcilláló függvények integrálása 83
Végtelen számsorok 86
Paraméteres integrál 97
Megoldások 102
Többváltozós függvények 106
Parciális differenciálhányados 106
A kétváltozós függvények geometriai jelentése 114
Implicit függvények 115
Az elektroncső 124
Görbesereg burkolója 126
Taylor-sor és szélsőérték-feladatok 129
Többszörös integrálok 136
Többdimenziós tér és a szabadsági fok problémája 145
Megoldások 149
Komplex változós függvények 154
A komplex számok egyszerűbb tulajdonságai 154
Konjugált komplex számok 157
Komplex kitevőjű hatványok. Euler-féle összefüggés 161
Logaritmus és gyökvonás 165
A harmonikus rezgések leírása képzetes kitevőjű exponenciális függvény segítségével 170
Komplex változós függvények deriválása 177
Harmonikus függvények 179
Komplex változós függvények integrálása 182
Reziduumok 187
Megoldások 195
A Dirac-féle függvény 201
a Dirac-féle függvény 201
A Green-függvény 207
A függvénnyel kapcsolatos más függvények 211
A Stieltjes-integrál fogalma 216
Megoldások 218
Differenciálegyenletek 220
Az elsőrendű differenciálegyenlet geometriai értelmezése 220
Kvadratúrával (közvetlen integrálással) megoldható elsőrendű differenciálegyenletek 223
Másodrendű inhomogén lineáris állandó együtthatójú differenciálegyenletek 244
Stabilis és instabil megoldások 251
Megoldások 256
További ismeretek a differenciálegyenletek köréből 258
Szinguláris pontok 258
Differenciálegyenlet-rendszerek 261
Determinánsok, és szerepük az állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenlet-rendszerek megoldásainak meghatározásában 264
Egyensúlyi állapotok Ljapunov szerinti stabilitása 269
Közelítő megoldások szerkesztése 272
A megoldások adiabatikus változása 281
Differenciálegyenletek numerikus megoldásas 284
Peremérték-feladatok 296
Határréteg 302
Jelenségek hasonlósága 303
Megoldások 307
Vektorok 311
Lineáris műveletek vektorokkal 312
Vektorok skalárszorzata 316
Vektorok deriváltja 318
Az anyagi pont mozgása 321
Tenzorok 326
Több dimenziós vektorterek 330
Megoldások 333
Térelmélet 338
Bevezetés 338
Skalárterek és a gradiens 339
A potenciális energia és az erő 342
Sebességtér és a fluxus 347
Az elektrosztatikus tér potenciálja és fluxusa 351
Példák 354
Az általános vektortér és a divergencia 362
A sebesség divergenciája és a kontinuitási egyenlet 366
Az elektrosztatikus tér divergenciája és a Poisson-egyenlet 369
A felületvektor és a nyomás 372
Megoldások 376
A vektorális szorzat és a forgómozgás 381
A vektorális szorzat fogalma 381
A vektorális szorzat alkalmazása a mechanikában 384
Testek mozgása centrális erőtérben 388
Merev testek forgómozgása 396
Szimmetrikus és antiszimmetrikus tenzorok 399
Vektorok és pszeudovektorok 404
A vektortér rotációja 411
A Hamilton-féle nabla-operátor 411
Potenciális terek 414
A sebességtér rotációja 417
A mágneses tér és az elektromos áram 420
Az elektromágneses tér és a Maxwell-egyenletek 423
Többszörösen összefüggő tartományok és a potenciál 427
Megoldások 429
Variációszámítás 434
A végesről a végtelen szabadsági fokra való átmenet. Példa 434
Funkcionálok 439
A szélsőérték szükséges feltétele 443
Az Euler-Lagrange-féle differenciálegyenlet 445
Mindig megoldható-e a legegyszerűbb variációs feladat? 451
Változatok egy témára 455
A feltételes szélsőérték véges szabadsági fok mellett 457
Feltételes szélsőérték a variációszámításban 460
Korlátos szélsőérték-feladatok 467
Variációs elvek. A Fermat-elv az optikában 469
A legkisebb hatás elve 475
A variációsszámítás direkt módszerei 479
Megoldások 483
Valószínűségszámítás 490
A probléma érzékeltetése 490
Valószínűségek szorzata 493
Nagyszámú kísérlet eredményének kiértékelése 498
Az entrópia 509
A radioaktív bomlás folyamata és a Poisson-képlet 514
A Poisson-eloszlás egy újabb levezetése 518
Folytonos eloszlású mennyiségek 520
Kísérletek sokszori megismétlése 525
A kölcsönös függőség, avagy a korreláció 532
A prímszámok eloszlásáról 536
Megoldások 542
A Fourier-transzformáció 548
Bevezetés 548
A Fourier-transzformáció képletei 552
A kauzalitás és a diszéperzióc összefüggések 558
A Fourier-transzformáció tulajdonságai 562
A haranggörbe Fourier-transzformáltja és a határozatlansági összefüggés 570
Periodikus függvények spektrálanalízise 575
A Hilbert-tér fogalma 579
A spektrálsűrűség fázisa és abszolút értéke 585
Megoldások 588
Az elektronikus számítógépekről 592
Analóg számítógépek 592
Digitális számítógépek 594
Adatok és utasítások tárolása az elektronikus számítógépekben 595
A programozás 600
Mikor használjuk az elektronikus számítógépeket? 608
Megoldások 615
Az egyes fejezetekhez javasolt irodalom 619
Tárgymutató 623