Korszerű matematikai alapismeretek

Összefoglaló

TARTALOM
Előszó 11
Halmazelméleti alapfogalmak 13
A halmaz fogalma 13
Műveletek halmazokkal 16
A számfogalom felépítése 21
A természetes számok 21
Az egész számok 22
A racionális számok 25
A gyűrű és a test fogalma 28
A valós számok 31
A valós számhalmaz rendezettsége 33
Valós szám abszolút értéke 36
A hatvány fogalma. Fontosabb azonosságok 37
A gyök fogalma 39
A hatványfogalom általánosítása 41
A logaritmus fogalma 47
A számok normálalakja. Tízalapú logaritmus 49
A teljes indukció 53
Néhány számelméleti alapfogalom 57
Matematikai kifejezések 64
Algebrai kifejezések. Egytagú kifejezések 64
Polinomok. Műveletek polinomokkal. Racionális törtkifejezés 66
Nevezetes azonosságok. Néhány alkalmazás 72
Polinomok szorzattá bontása 77
Polinomok legkisebb közös többszöröse 81
Műveletek racionális törtkifejezésekkel 82
Műveletek irracionális és transzcendens kifejezésekkel 83
Függvények és egyenletek 86
Intervallumok 86
Szorzathalmazok. Koordináta-rendszer 89
A függvény fogalma 92
A számtani és a mértani sorozat 95
A függvény ábrája 98
A függvények osztályozása 101
Függvénytranszformációk 105
Néhány függvény a gyakorlatból 116
A függvény nullahelyei 122
Előkészület az egyenlet megoldására 124
Elsőfokú egyenletek megoldása 131
Szöveges feladatok 132
Paraméteres egyenletek 136
Másodfokú egyenletek 141
Magasabb fokú egyenletek 145
Irracionális egyenletek 151
Exponenciális egyenletek 152
Logaritmikus egyenletek 158
Egyenletrendszerek és determinánsok 161
Az egyenletrendszer fogalma 161
Elsőfokú egyenletrendszerek 165
A determináns fogalma 170
A determinánsok fontosabb tulajdonságai 175
Másodfokú egyenletrendszerek 182
Néhány alkalmazás 186
További algebrai és transzcendens egyenletrendszerek 192
Egyenlőtlenségek 195
Egyismeretlenes egyenlőtlenségek 195
Kétismeretlenes egyenlőtlenségek és egyenlőtlenség-rendszerek 203
Azonos egyenlőtlenségek 212
Középértékek 216
Alkalmazások 220
Geometria 227
Alapfogalmak 227
A háromszögre vonatkozó fontosabb tételek 230
Síkidomok hasonlósága 234
A háromszögek hasonlóságának néhány alkalmazása 236
Sokszögekre és körre vonatkozó tételek 240
Síkidomok kerületének és területének meghatározása 244
Néhány példa 249
A szögek ívmértéke 255
Térgeometriai alapfogalmak 256
Hasábokra és gúlákra vonatkozó tételek 260
A henger, a kúp és a gömb 264
Néhány feladat megoldása 267
Trigonometria 272
A szögfüggvények értelmezése 272
Ugyanazon szög szögfüggvényei közötti összefüggések 282
A szinusz- és a koszinusztétel 284
A háromszög területképletei 289
A szinusz- és a koszinuszfüggvény további általánosításe 291
A tangens- és a kotangensfüggvény általánosítása 297
A szögfüggvények ábrázolása 299
Az addíciós képletek 302
Összetettebb feladatok 307
Trigonometriai egyenletek 312
Vektorok 321
A vektor fogalma 321
Az összeadás, a kivonás és a skalárral való szorzás 324
Vektorok összetevőkre bontása 328
Műveletek koordinátáikkal adott vektorokkal 333
Vektorok skaláris szorzata 339
Az n-elemű vektorok 344
Analitikus geometria 348
A sík analitikus geometriájának alapfogalmai 348
Az egyenes legelemibb egyenletei 353
Az egyenes egyenletének néhány speciális alakja 360
Az egyenes egyenletének általános alakjai 362
A kör 370
A parabola 381
Az ellipszis 384
A hiperbola 387
A tér analitikus geometriájának elemei. A sík és az egyenes 372
A gömb és néhány más felület 403
Néhány általánosítás 407
Végtelen számsorozatok 409
Monoton és nem monoton sorozatok 409
Sorozatok korlátossága. torlódási hely 414
A sorozat határértéke 417
A határértékre vonatkozó tételek 418
Végtelen sorok 429
Függvénytan 433
Alapfogalmak 433
A függvény határértéke 439
A függvény folytonossága 448
Folytonos függvények tulajdonságai 455
Az inverz függvény 459
Differenciálszámítás 468
A differenciálhatóság és a differenciálhányados fogalma 468
Differenciálási szabályok 472
Példák a differenciálszámítás közvetlen alkalmazására 480
Differenciálható függvények tulajdonságai 487
Függvényvizsgálat 492
Szélsőérték-számítás 498
Magasabb rendű deriváltak 506
A primitív függvény és a határozatlan integrál 511
A komplex számok 513
A komplex szám fogalma 513
A komplex szám abszolút értéke és trigonometriai alakja 519
Az egységgyökök 529
Az algebra alaptétele és néhány következménye 533
A Horner-módszer 533
Az algebra alaptétele. A gyöktényezős alak 537
Valós együtthatós polinomok 543
A Lagrange-féle interpoláció 546
Néhány szó a hiperkomplex számokról 548
Polinomok legnagyobb közös osztója 550
Racionális törtkifejezések 54
Kombinatorika 562
A kombinatorika tárgya 562
Permutációk 563
Ismétléses permutációk 565
Kombinációk 567
Ismétléses kombinációk 571
Variációk 574
Ismétléses variációk 575
A binomiális és a polinomiális tétel 577
A binomiális együtthatók fontosabb tulajdonságai 580
Függelék 585
A gyakrabban szükséges képletek gyűjteménye 587
Táblázatok 601
Irodalomjegyzék 621
Név- és tárgymutató 623