TARTALOM
Előszó 5
Operátor-algebra
Folytonos függvények konvolúciójának fogalma és tulajdonságai 9
A konvolúció meghatározása 10
Konvolúció komutativitása 10
A konvolúció asszociativitása 11
Az összeadás és a konvolúció mint az operátorszámítás alapvető műveletei 11
A függvény és a függvény értéke 13
Szimbolika 14
Az integrálás operátora 15
Titchmarsh tétele
A tétel megfogalmazása és általános megjegyzések 17
Phragmén tétele 17
Tételek a momentumokról 20
Titchmarsh tételének bizonyítása f=g esetén 22
Általános bizonyítás 24
Operátorok
A konvolúció inverz művelete 26
Operátorok 27
Műveletek operátorokkal 28
Számoperátorok 29
Terminológiai megjegyzések 29
Szám és függvény szorzata 30
A 0 és 1 számok 31
A differenciálás operátora 32
Az s operátor hatványai 33
Az s operátor polinomjai 34
Az s operátor az exponenciális függvénnyel 35
Az s operátor összefüggése a trigonometrikus függvényekkel 35
Az s racionális kifejezéssel képezett operátor 36
Az s racionális kifejezéssel képezett operátorok néhány tulajdonságai 40
Állandó együtthatójú közönséges differenciálegyenletek
Általános módszer és példák 43
Az elektromos áramkörök elmélete
Megjegyzések az operátorszámítás alkalmazásáról a fizikai és technikai kérdések megoldásával kapcsolatban 49
Elektromos áramkör 51
Rövidzárási áram 53
Impedancia 57
Szinuszosan változó áramok 57
A Kirchoff-féle törvények 61
A Wheatstone-híd 61
Az Anderson-híd 62
Általános megjegyzések az elektromos áramkörök egyenleteinek felállításáról 63
Az összetett kétpólusok impedanciája és rövidzárási árama 67
Színuszosan váltakozó feszültség esete 72
A feszültségimpulzus és ennek alkalmazása az impedanciák mérésében 74
Induktív csatolás 75
Négypólusok 78
Négypólusok lánckapcsolása 80
Három négypólus lánckapcsolása 83
Négypólusok rövidrezárt kimenőkapcsokkal 84
Négypólusok nyitott kimenőkapcsokkal 86
Négypólusok, melyeknek kimenőkapcsaira kétpólust kapcsolunk 87
Négypólusok lánca 88
Transzformátorok 89
Elektroncső mint négypólus 91
Négypólusok 1 értékű determinánssal 94
Inverz és szimmetrikus négypólusok 96
A differenciálegyenletek általános megoldásai és peremérték problémák
Általános megoldás 98
Peremérték-problémák 101
Differenciálegyenletek megoldása ha a kezdeti feltételek a t0 nemegyenlő 0 pontban adottak 103
Nem folytonos függvények
A K osztályban tartozó függvények 104
Műveletek a K osztályban tartozó függvényekkel 105
Az Euler-féle gamma függvény 107
Az l és s-a operátorok törthatványai 109
Függvények, melyeknek differenciálhányadosa a K osztályba tartozik 111
Differenciálegyenletek, amelyeknek jobb oldala nem folytonos 113
Az ugrásfüggvény és az eltolás operátora 114
Speciális nem folytonos függvények differenciálhányadosa 116
Az eltolás operátorának approximációja függvényekkel 119
Az eltolás operátorának különféle interpretációi 120
Az egész t tengelyen értelmezett függvények 122
Alkalmazások a tartók statikájának köréből
A terhelés fajtái 125
Nyíróerő és hajlítónyomaték 127
Egyensúlyi feltételek 130
A tartó rugalmas szála 132
Konzolok 133
Statikailag határozatlan esetek 134
Operátor sorozatok és sorok
Operátor sorozatok
Egyenletes konvergenica 139
Operátorok sorozatának határértéke 141
Operátor sorozat határértékének tulajdonságai 144
Eltolási operátort tartalmazó sorok
Sorok, amelyeknek együtthatói számok 148
Az eltolási operátorok általánosabb sorai 149
Periodikusan gerjesztett elektromos rendszerek 149
Hatványsorok
Számváltozók hatványsorai, melyeknek együtthatói operátorok 155
Hatványsorok szorzása 157
Számegyütthatójú operátorok hatványsorai 158
Tetszőleges valós kitevőjű hatványok 159
Feladat az elektrotechnika köréből 160
Általánosabb feladat az elektrotechnika köréből 163
A Bessel-féle Jn függvények, ha n tetszőleges egész szám 163
Operátorok differenciálszámítása
Operátorfüggvények és differenciálhányadosaik
Operátorfüggvények 175
Folytonos operátorfüggvények 176
Operátorfüggvény folytonos differenciálhányadosa 179
A folytonos differenciálhányados tulajdonságai 181
Magasabbrendű folytonos differenciálhányados 183
A differenciálhányados általános definíciója 184
Exponenciális függvények
Általánosított exponenciális függvények 187
Hatványsorok differenciálhányadosai 188
A rezgő húr
A rezgő húr operátoregyenlete 197
A rezgő húr alakjai 200
Általánosabb peremfeltételek 204
A megoldások egyértelműsége 205
Végtelen hosszú húr 206
A húr rezgése speciális kezdeti feltételek esetén 208
A húr rezgése tetszőlegesen megadott kezdeti alak mellett 210
A húr rezgései megadott kezdeti sebesség mellett 212
Más interpretációk 214
Hővezetési egyenlet
Parabolikus exponenciális függvény 214
A parabolikus exponenciális függvény néhány analitikus tulajdonsága 216
Hővezető rúd hőmérséklete 216
A megoldás végtelen sorba fejtése 218
Egyenlőtlenségek és abszolút érték 221
Végtelen hosszú rúd 224
Hőszigetelt rúd 225
Trigonometrikus sorok 229
A rúd hőmérsékletváltozásai adott kezdeti hőmérséklet mellett 231
A megoldás helyességének vizsgálata 232
Speciális esetek 233
Egyik végén szigetelt rúd 236
Rúdvégén szabályozott hőáramlás 237
Hővezető gyűrű 239
A Ta művelet és annak alkalmazása 244
Nem szigetelt hővezető 244
Távvezeték-egyenlet
A távvezeték-egyenlet általános alakja 246
Veszteség nélküli vezeték 247
Torzítás nélküli vezeték 247
A Thomson-féle kábel 249
Önindukció nélküli kábel 250
Levezetés nélküli kábel 250
A vezetéknek mind a négy paramétere pozitív 252
Algebrai differenciálhányados
Definíció és tulajdonságuk 253
A konstans együtthatójú lineáris differenciálegyenletek általános elméletének alapjai
Homogén differenciálegyenletek
Bevezető megjegyzések 259
Karakterisztikus egyenletek 259
Az exponenciális függvények 260
Logaritmusok 261
A karakterisztikus egyenlet többszörös gyökei 263
Általános megoldás 263
A megoldások unicitásának tétele 265
Logaritmikus egyenletek 267
Lineáris differenciál-kifejezések 269
Műveleketek lineáris differenciál-kifejezésekkel 269
Lineáris differenciál-kifejezések karakterisztikus polinomjai 270
Tiszta differenicálegyenletek 270
Vegyes differenciálegyenlet 271
A differenciálegyenlet megoldása adott kezdeti, kerületi és egyéb feltételek mellett 271
Inhomogén differenciálegyenletek
Az inhomogén differenciálegyenlet általános megoldása 275
A jobboldal polinom 276
A jobboldaliexponenciális függvény 277
A jobboldal egy polinom és egy exponenciális függvény szorzata 278
A jobboldal két függvény lineáris kombinációja 279
A jobboldal trigonometrikus függvény 280
A megoldások alkalmazása mellékfeltételek esetén 280
Alkalmazások a parciális differenciálegyenletek körében
A parciális differenciálegyenletek visszavezetése operátoregyenletre 282
Megjegyzések a mellékfeltételekről 282
Egy hibás megoldás 288
A látszólagos ellentmondás magyarázata 292
A Cauchy-féle feltételek és az általános feltételekkel való egyenértékű problémája 292
A parciális differenciálegyenlet és az operátoregyenlet egyenértékűségének kérdése 294
További példák parciális differenciálegyenletek megoldására 296
Általános megjegyzések parciális differenciálegyenleteknek operátoros módszerrel való megoldásáról 297
Vegyes feltételek 300
Operátorok integrálszámítása
Egy operátorfüggvény integrálja és ezen integrál alkalmazásai
A K osztályba tartozó operátorfüggvények 311
Az integrál definíciója 312
Az integrál tulajdonságai 313
Két változó operátorfüggvénye 315
Szeletfüggvények 317
Egy logaritmikus differenciálegyenlet partikuláris megoldásának integrálalakja 319
Alkalmazás a rezgő húr egyenletére 321
Végtelen sorok és határozott integrálok alkalmazása 325
Integráltranszformációk
A Laplace-transzformáció 328
A Laplace-transzformáció mint az operátorszámítás alapja 329
A közvetlen módszer és a Laplace-transzformáció módszerének összehasonlítása 330
Más rokon-módszerek 331
Függelék
Operátorok meghatározása az absztrakt algebra kifejezéseivel
Kommutatív gyűrű 333
Hányados test 334
Operátorok 335
Disztribúciók
Bevezetés 336
Disztribúció-operátorok 336
Disztribúció 337
Disztribúciók differenciálása 339
Az itt kifejtett elmélet egyenértékűsége más disztribúció elméletekkel 340
Disztribúció-sorozatok 341
Operátorok és disztribúció 341
Operátorok hatványsora
Integrálható függvények hatványsora 342
Egy általánosabb eset 345
Néhány speciális hatványsor 349
Az exponenciális függvény
Bevezetés 353
Taylor-sorba fejtés 357
Az Ua (f) függvény 359
A valós képlet Ua (f)-re 360
Az Ua (f) tulajdonságai a valós tengelyen 361
Az a>1 és valós esete 363
Egy operátor valós és imaginárius része 365
Az a >0 és a komplex, de nem imaginárius esete 366
Az a >1 és a tiszta imaginárius esete 369
Az a=1 esete 369
A függvények táblázata 370
Operátoros együtthatójú lineáris differenciálegyenletek általános elmélete
Jelölések 370
A megoldások tere 370
Lineáris független megoldások 370
A megoldások egy halmaza 371
Két egyenlet közös megoldása 371
Irrebucibilis polinomok hatványai 373
Operátoros polinomok tényezőkre bontása 374
Logaritmikus egyenletek 376
Tiszta egyenletek 377
Vegyes egyenletek 378
Inhomogén logaritmikus egyenlet 378
Inhomogén tiszta egyenletek 380
Inhomogén vegyes egyenletek 381
Az operátoros polinomok egy osztálya
Bevezetés 382
Racionális tényezőkre bontás 383
Irracionális tényezőkre bontás 383
Általános módszer 386
Általános módszer (folytatás) 388
Megjegyzések 390
A differenciálegyenletek egy osztálya
A lineárisan független megoldások száma 398
Egy tétel az exponencionális függvényekről 399
A megoldás meghatározása 401
Homogén problémák parciális differenciálegyenletek esetén
Bevezetés a problémába 401
Első lemma 402
Második lemma 403
Példák 403
A modern operátorszámítás néhány elektrotechnikai alkalmazása
Bevezetés
Áramkörök koncentrált elektromos paraméterekkel
Párhuzamos kapcsolt ellenállásból és kapacitásból álló áramkör gerjesztése egyenfeszültséggel 411
Soros rezgőkör gerjesztése feszültségimpulzussal 411
Hangfrekvenciás transzformátor lökésszerű gerjesztése 413
Többfokozatú impulzus-erősítő vizsgálata 415
Elektromos hangkeltők és hangfelvevő lökésszerű gerjesztése 417
A kétpólusú áramkörök válasz-analízise
Az egység-doublet operátor definíciója és aproximációja függvényekkel 422
Válaszanalízis 424
Átvivőrendszerek speciális átviteloperátorral 428
Távvezetékek
Végtelen hosszúságú vezetékek gerjesztése felszültségimpulzusokkal 429
Impulzusjel terjedése távvezetéken 430
Impulzusjel csillapodása távvezetéken 432
Az áramimpulzus végzett gerjesztés feladata. Összefoglalás 433
Véges hosszúságú impedanciával terhelt vezetékek gerjesztése impulzusokkal 433
Két példa 436
Véges távvezetékek válaszanalízise 437
Táblázatok és képletek
Speciális függvények 441
Az operátorszámítás képletei 442
Elektrotechnikai alkalmazások 446
Függvénytáblázatok 448
A gyakorlatok megoldásai 451
Irodalom 469
Tárgymutató 473